Вариант Б2 1 В треугольнике АВС высо- та CD делит угол С на два угла, причем ∠ACD = 25°, ∠BCD = 40°. а) Докажите, что треуголь- ник АВС равнобедренный, и укажите его боковые стороны. б) Высоты данного треуголь- ника пересекаются в точке О. Найдите BOC.

Решение:

1. \( \angle ACB = \angle ACD + \angle BCD = 25^{\circ} + 40^{\circ} = 65^{\circ} \).
2. В \( \triangle BCD \): \( \angle CBD = 180^{\circ} - (\angle BCD + \angle CDB) \). Так как \( CD \) — высота, \( \angle CDB = 90^{\circ} \).
3. \( \angle CBD = 180^{\circ} - (40^{\circ} + 90^{\circ}) = 180^{\circ} - 130^{\circ} = 50^{\circ} \).
4. \( \angle BAC = 180^{\circ} - (\angle ABC + \angle ACB) = 180^{\circ} - (50^{\circ} + 65^{\circ}) = 180^{\circ} - 115^{\circ} = 65^{\circ} \).
5. Так как \( \angle BAC = 65^{\circ} \) и \( \angle ACB = 65^{\circ} \), то \( \triangle ABC \) — равнобедренный с боковыми сторонами АВ и ВС.
6. \( AC \) — основание.
7. \( CD \) — высота, \( AB \) — сторона.
8. \( AO \) — биссектриса \( \angle BAC \).
9. \( BO \) — биссектриса \( \angle ABC \).
10. \( \angle OAC = \frac{1}{2} \angle BAC = \frac{1}{2} \cdot 65^{\circ} = 32.5^{\circ} \).
11. \( \angle OBA = \frac{1}{2} \angle ABC = \frac{1}{2} \cdot 50^{\circ} = 25^{\circ} \).
12. В \( \triangle ABO \): \( \angle AOB = 180^{\circ} - (\angle OAC + \angle OBA) \).
13. \( \angle AOB = 180^{\circ} - (32.5^{\circ} + 25^{\circ}) = 180^{\circ} - 57.5^{\circ} = 122.5^{\circ} \).
14. \( \angle BOC \) и \( \angle AOB \) — смежные углы.
15. \( \angle BOC = 180^{\circ} - \angle AOB = 180^{\circ} - 122.5^{\circ} = 57.5^{\circ} \).

Ответ: а) Треугольник АВС равнобедренный, боковые стороны АВ и ВС. б) \( \angle BOC = 57.5^{\circ} \).