Вариант Б1 2 Отрезки AB и CD пересекаются в точке О, которая является серединой каждого из них. а) Докажите равенство тре- угольников АСВ и BDA. б) Найдите ДОАС, если ZODB = 20°, ∠AOC = 115°.

Решение:

1. а) Доказательство равенства треугольников:
   • \( AO = OB \) и \( CO = OD \) по условию (точка О — середина отрезков АВ и CD).
   • \( \angle AOC = \angle BOD \) как вертикальные углы.
   • По признаку \( \text{сторона-угол-сторона} \) (\( \text{СУС} \)) \( \triangle AOC = \triangle BOD \).
   • Из равенства этих треугольников следует, что \( AC = BD \) и \( \angle OAC = \angle OBD \), \( \angle OCA = \angle ODB \).
   • Рассмотрим \( \triangle ACB \) и \( \triangle BDA \).
   • \( AC = BD \) (доказано выше).
   • \( CB = DA \) (общая сторона).
   • \( AB = AB \) (общая сторона).
   • По третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам, \( \text{ССС} \)) \( \triangle ACB = \triangle BDA \).
2. б) Нахождение \( \angle OAC \):
   • Из равенства \( \triangle AOC = \triangle BOD \) следует, что \( \angle OAC = \angle OBD \) и \( \angle OCA = \angle ODB \).
   • По условию \( \angle ODB = 20^{\circ} \), следовательно, \( \angle OCA = 20^{\circ} \).
   • \( \angle AOC = 115^{\circ} \) по условию.
   • В \( \triangle AOC \): \( \angle OAC + \angle AOC + \angle OCA = 180^{\circ} \).
   • \( \angle OAC + 115^{\circ} + 20^{\circ} = 180^{\circ} \).
   • \( \angle OAC + 135^{\circ} = 180^{\circ} \).
   • \( \angle OAC = 180^{\circ} - 135^{\circ} = 45^{\circ} \).

Ответ: а) Доказано. б) \( \angle OAC = 45^{\circ} \).