Вариант А1 2 Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О, которая является серединой каждого из них. а) Докажите, что ДАОС = = ABOD. б) Найдите ДОАС, если ZODB = 20°, ∠AOC = 115°.

Решение:

1. а) Доказательство равенства треугольников:
   • \( AO = OB \) и \( CO = OD \) по условию (точка О — середина отрезков АВ и CD).
   • \( \angle AOC = \angle BOD \) как вертикальные углы.
   • По двум сторонам и углу между ними (по признаку \( \text{сторона-угол-сторона} \)) \( \triangle AOC = \triangle BOD \).
2. б) Нахождение \( \angle OAC \):
   • Из равенства треугольников \( \triangle AOC = \triangle BOD \) следует, что \( \angle OAC = \angle OBD \).
   • В \( \triangle BOD \) известны \( \angle ODB = 20^{\circ} \) и \( \angle BOD = \angle AOC = 115^{\circ} \) (вертикальные углы).
   • Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому \( \angle OBD = 180^{\circ} - (\angle ODB + \angle BOD) = 180^{\circ} - (20^{\circ} + 115^{\circ}) = 180^{\circ} - 135^{\circ} = 45^{\circ} \).
   • Так как \( \angle OAC = \angle OBD \), то \( \angle OAC = 45^{\circ} \).

Ответ: а) Доказано. б) \( \angle OAC = 45^{\circ} \).