Вариант Б1, Задача 1 В треугольнике АВС высота BD делит угол В на два угла, причем ∠ABD = 40°, ∠CBD = 10°. а) Докажите, что треугольник АВС равнобедренный, и укажите его основание. б) Высоты данного треугольника пересекаются в точке О. Найдите ∠ВОС.

Решение:

а) Доказательство:

1. Найдем угол В треугольника АВС: \( \angle B = \angle ABD + \angle CBD = 40° + 10° = 50° \).
2. В треугольнике АВС сумма углов равна 180°. Найдем угол А: \( \angle A = 180° - \angle B - \angle C \). Угол С нам неизвестен.
3. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD (так как BD - высота, \( \angle BDA = 90° \)). Угол А в нем равен: \( \angle A = 90° - \angle ABD = 90° - 40° = 50° \).
4. Так как \( \angle A = 50° \) и \( \angle B = 50° \), то треугольник АВС является равнобедренным.
5. Основанием равнобедренного треугольника является сторона, противолежащая углу при вершине. В данном случае, равны углы А и В, значит, основанием является сторона АС.

б) Нахождение \( \angle BOC \):

1. В равнобедренном треугольнике АВС (\( \angle A = \angle B = 50° \)) основание АС. Значит, \( \angle C = 180° - 50° - 50° = 80° \).
2. Высоты треугольника пересекаются в одной точке (ортоцентре). BD - одна из высот.
3. Найдем высоту, опущенную из вершины С на АВ. Обозначим ее СЕ. \( \triangle BEC \) - прямоугольный, \( \angle BEC = 90° \). \( \angle BCE = 90° - \angle B = 90° - 50° = 40° \).
4. В треугольнике ВОС, \( \angle OBC = \angle CBD = 10° \) (дано). \( \angle OCB = \angle BCE = 40° \).
5. Найдем \( \angle BOC \) в \( \triangle BOC \): \( \angle BOC = 180° - \angle OBC - \angle OCB = 180° - 10° - 40° = 130° \).

Ответ: а) Треугольник АВС равнобедренный, основание АС. б) \( \angle BOC = 130° \).