Вариант А2, Задача 1 В треугольнике АВС ∠A = 100°, ∠C = 40°. а) Докажите, что треугольник АВС - равнобедренный, и укажите его боковые стороны. б) Отрезок СК - биссектриса данного треугольника. Найдите углы, которые она образует со стороной АВ.

Решение:

а) Доказательство:

1. В треугольнике АВС сумма углов равна 180°. Найдем угол В: \( \angle B = 180° - \angle A - \angle C = 180° - 100° - 40° = 40° \).
2. Так как \( \angle B = \angle C = 40° \), то треугольник АВС является равнобедренным.
3. Боковыми сторонами равнобедренного треугольника являются стороны, противолежащие равным углам. Следовательно, боковые стороны - это АВ и АС.

б) Нахождение углов:

1. Отрезок СК - биссектриса угла С, значит, она делит угол С пополам: \( \angle SCK = \angle KCA = \frac{\angle C}{2} = \frac{40°}{2} = 20° \).
2. Рассмотрим треугольник ВСК. Сумма углов в нем равна 180°. Найдем \( \angle BKC \): \( \angle BKC = 180° - \angle B - \angle KCB = 180° - 40° - 20° = 120° \).
3. Угол, который биссектриса СК образует со стороной АВ, это угол \( \angle BKC \) или смежный с ним угол \( \angle AKC \).
4. Так как \( \angle BKC = 120° \), то смежный с ним угол \( \angle AKC = 180° - 120° = 60° \).
5. Биссектриса СК образует со стороной АВ два угла: 120° (с лучом ВС) и 60° (с лучом АС). Обычно, если не указано, с каким именно лучом, имеют в виду острый угол.

Ответ: а) Треугольник АВС равнобедренный, боковые стороны АВ и АС. б) Биссектриса СК образует со стороной АВ углы 120° и 60°.