Вариант А2, Задача 2 Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О, которая является серединой каждого из них. а) Докажите, что \( \triangle AOD = \triangle BOC \). б) Найдите \( \angle OBC \), если \( \angle ODA = 40° \), \( \angle BOC = 95° \).

Решение:

а) Доказательство:

1. Так как О - середина отрезков АВ и CD, то \( AO = OB \) и \( DO = OC \).
2. Углы \( \angle AOD \) и \( \angle BOC \) являются вертикальными, следовательно, \( \angle AOD = \angle BOC \).
3. По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними) \( \triangle AOD = \triangle BOC \), так как \( AO = OB \), \( DO = OC \) и \( \angle AOD = \angle BOC \).

б) Нахождение \( \angle OBC \):

1. Из равенства треугольников \( \triangle AOD = \triangle BOC \) следует, что \( \angle ODA = \angle OBC \) и \( \angle OAD = \angle OВC \).
2. Нам дано \( \angle ODA = 40° \), значит, \( \angle OBC = 40° \).
3. Нам дано \( \angle BOC = 95° \).
4. В треугольнике BOC сумма углов равна 180°. Найдем \( \angle OBC \): \( \angle OBC = 180° - \angle BOC - \angle OCB = 180° - 95° - 40° = 45° \).

Ответ: а) \( \triangle AOD = \triangle BOC \) по двум сторонам и углу между ними. б) \( \angle OBC = 40° \).