Вариант А2, Задание 3: Дано: ∠B = ∠C; BO = CO. Доказать: △AOD — равнобедренный.

Доказательство:

Чтобы доказать, что △AOD — равнобедренный, нам нужно показать, что две его стороны равны (например, AO = DO) или два его угла равны (например, ∠DAO = ∠DOA).

Рассмотрим треугольники △ABO и △DCO.

У нас есть:

• ∠ABO = ∠DCO (дано ∠B = ∠C, и так как ∠ABO является частью ∠B, а ∠DCO — частью ∠C, то ∠ABO = ∠DCO)
• BO = CO (дано)

Нам не хватает еще одного элемента для равенства треугольников по первому или второму признаку.

Давайте рассмотрим другие треугольники. Рассмотрим △BOC. Так как BO = CO, то △BOC — равнобедренный, и ∠CBO = ∠BCO.

Теперь вернемся к условию ∠B = ∠C. Это означает, что ∠ABO + ∠OBC = ∠DCO + ∠OCB.

Поскольку ∠OBC = ∠OCB, то из этого следует, что ∠ABO = ∠DCO.

Теперь рассмотрим треугольники △ABO и △DCO еще раз:

• ∠ABO = ∠DCO (доказано выше)
• BO = CO (дано)
• ∠AOB = ∠DOC (вертикальные углы)

По второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам), △ABO = △DCO.

Из равенства этих треугольников следует, что соответствующие стороны равны: AO = DO.

Поскольку в треугольнике △AOD стороны AO и DO равны, то этот треугольник является равнобедренным.

Что и требовалось доказать.