Вариант А1, Задание 3: Дано: BD — биссектриса ∠ABC; ∠ADB = ∠CDB. Доказать: △ADC — равнобедренный.

Доказательство:

Чтобы доказать, что △ADC — равнобедренный, нам нужно показать, что две его стороны равны (например, AD = CD) или два его угла равны (например, ∠DAC = ∠DCA).

Рассмотрим треугольники △ABD и △CBD.

У нас есть:

• BD = BD (общая сторона)
• ∠ADB = ∠CDB (дано)
• ∠ABD = ∠CBD (так как BD — биссектриса ∠ABC, по определению биссектрисы)

По двум углам и стороне между ними (признак равенства треугольников), мы можем сказать, что △ABD = △CBD.

Из равенства этих треугольников следует, что их соответствующие стороны равны: AD = CD.

Поскольку в треугольнике △ADC стороны AD и CD равны, то этот треугольник является равнобедренным.

Что и требовалось доказать.