Вариант 5, Задание 2. Сократите дробь и найдите ее значение при заданных значениях букв:

Решение:

а) Выражение: \( \frac{ax + ay - bx - by}{ax - ay - bx + by} \)

• Сгруппируем члены в числителе и знаменателе:
• Числитель: \( (ax + ay) - (bx + by) = a(x + y) - b(x + y) = (a - b)(x + y) \).
• Знаменатель: \( (ax - bx) - (ay - by) = x(a - b) - y(a - b) = (x - y)(a - b) \).
• \( \frac{(a - b)(x + y)}{(x - y)(a - b)} \)
• Сократим на \( a - b \) (при \( a \neq b \)):
• \( \frac{x + y}{x - y} \)

Значение при \( a = -61.4, b = 118, x = -5, y = -3 \):

• \( \frac{-5 + (-3)}{-5 - (-3)} = \frac{-5 - 3}{-5 + 3} = \frac{-8}{-2} = 4 \)

Ответ: \( \frac{x + y}{x - y} = 4 \).

б) Выражение: \( \frac{ab - b - ac + c}{a^3 - 3a^2 + 3a - 1} \)

• Числитель: \( (ab - ac) - (b - c) = a(b - c) - (b - c) = (a - 1)(b - c) \).
• Знаменатель: \( a^3 - 3a^2 + 3a - 1 \) — это куб разности \( (a - 1)^3 \).
• \( \frac{(a - 1)(b - c)}{(a - 1)^3} \)
• Сократим на \( a - 1 \) (при \( a \neq 1 \)):
• \( \frac{b - c}{(a - 1)^2} \)

Значение при \( a = 2, b = 1999, c = 2000 \):

• \( \frac{1999 - 2000}{(2 - 1)^2} = \frac{-1}{1^2} = \frac{-1}{1} = -1 \)

Ответ: \( \frac{b - c}{(a - 1)^2} = -1 \).