Вариант 5, Задание 1. Сократите дробь:

Решение:

а)

• \( \frac{16x^2 - 8x + 1}{1 - 16x^2} \)
• Числитель — квадрат разности: \( (4x)^2 - 2 \cdot 4x \cdot 1 + 1^2 = (4x - 1)^2 \).
• Знаменатель — разность квадратов: \( 1^2 - (4x)^2 = (1 - 4x)(1 + 4x) \).
• \( \frac{(4x - 1)^2}{(1 - 4x)(1 + 4x)} \)
• Заметим, что \( (4x - 1)^2 = (-(1 - 4x))^2 = (1 - 4x)^2 \).
• \( \frac{(1 - 4x)^2}{(1 - 4x)(1 + 4x)} \)
• Сократим на \( 1 - 4x \):
• \( \frac{1 - 4x}{1 + 4x} \)

Ответ: \( \frac{1 - 4x}{1 + 4x} \).

б)

• \( \frac{64a^2 - 16b^2}{4a^2 - 4ab + b^2} \)
• Числитель — разность квадратов: \( (8a)^2 - (4b)^2 = (8a - 4b)(8a + 4b) \).
• Знаменатель — квадрат разности: \( (2a)^2 - 2 \cdot 2a \cdot b + b^2 = (2a - b)^2 \).
• \( \frac{(8a - 4b)(8a + 4b)}{(2a - b)^2} \)
• Вынесем общий множитель \( 4 \) из первого множителя числителя: \( 8a - 4b = 4(2a - b) \).
• \( \frac{4(2a - b)(8a + 4b)}{(2a - b)^2} \)
• Сократим на \( 2a - b \):
• \( \frac{4(8a + 4b)}{2a - b} \)
• Вынесем общий множитель \( 4 \) из \( 8a + 4b \): \( 8a + 4b = 4(2a + b) \).
• \( \frac{4 \cdot 4(2a + b)}{2a - b} = \frac{16(2a + b)}{2a - b} \)

Ответ: \( \frac{16(2a + b)}{2a - b} \).

в)

• \( \frac{y^2 - x^2 + 4y + 4}{y - x + 2} \)
• Перегруппируем числитель: \( (y^2 + 4y + 4) - x^2 \)
• \( y^2 + 4y + 4 \) — это квадрат суммы \( (y + 2)^2 \).
• \( \frac{(y + 2)^2 - x^2}{y - x + 2} \)
• Числитель — разность квадратов: \( ((y + 2) - x)((y + 2) + x) = (y + 2 - x)(y + 2 + x) \).
• \( \frac{(y - x + 2)(y + x + 2)}{y - x + 2} \)
• Сократим на \( y - x + 2 \):
• \( y + x + 2 \)

Ответ: \( y + x + 2 \).