Вариант 2, Задание 4: К окружности с центром О проведена касательная MN (M — точка касания). Найдите отрезок MN, если ON = 12 см и ∠NOM = 30°.

Решение:

1. Касательная MN перпендикулярна радиусу OM в точке касания M. Следовательно, ∠OMN = 90°.
2. Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔOMN.
3. ON — гипотенуза, MN и OM — катеты.
4. По условию ON = 12 см и ∠NOM = 30°.
5. В прямоугольном треугольнике, катет, противолежащий углу в 30°, равен половине гипотенузы.
6. Катет OM противолежит углу ∠ONM.
7. Катет MN противолежит углу ∠NOM.
8. Угол ∠ONM = 180° - 90° - 30° = 60°.
9. Катет OM противолежит углу 30° (∠ONM=60°, ∠NOM=30°). OM = ½ * ON.
10. OM = ½ * 12 см = 6 см.
11. По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике ΔOMN: OM² + MN² = ON².
12. 6² + MN² = 12².
13. 36 + MN² = 144.
14. MN² = 144 - 36.
15. MN² = 108.
16. MN = \( \sqrt{108} \) = \( \sqrt{36 \cdot 3} \) = 6\( \sqrt{3} \) см.

Ответ: MN = 6\( \sqrt{3} \) см.