Вариант 1, Задание 3: На рисунке прямые а и в параллельны, ∠1 + ∠2 = 250°. Найдите угол 3.

Решение:

1. Углы ∠1 и ∠2 являются смежными, но их сумма равна 250°, что невозможно для смежных углов (сумма смежных углов равна 180°). Предположим, что ∠1 и ∠2 — это углы, образованные пересечением секущей с двумя параллельными прямыми.
2. Угол ∠1 и угол, смежный с ∠2 (назовем его ∠2'), образуют односторонние углы при параллельных прямых a и b и секущей. Сумма односторонних углов равна 180°.
3. Угол ∠2 и угол ∠3 являются вертикальными углами, значит, ∠2 = ∠3.
4. Угол ∠1 и угол ∠2+∠3 (где ∠2=∠3) образуют полный оборот, то есть 360°.
5. Также, ∠1 и угол, смежный с ∠2 (обозначим его ∠2'), являются односторонними углами, поэтому ∠1 + ∠2' = 180°.
6. Угол ∠2 и ∠2' являются смежными, поэтому ∠2 + ∠2' = 180°.
7. Из условия ∠1 + ∠2 = 250°.
8. Пусть ∠2 = x. Тогда ∠1 = 250° - x.
9. Угол ∠3 = ∠2 = x (вертикальные углы).
10. Угол ∠1 и ∠2' — односторонние, ∠1 + ∠2' = 180°.
11. Угол ∠2 и ∠2' — смежные, ∠2 + ∠2' = 180°.
12. Из ∠1 + ∠2 = 250° и ∠1 + ∠2' = 180°, вычитая второе из первого, получаем: (∠1 + ∠2) - (∠1 + ∠2') = 250° - 180°.
13. ∠2 - ∠2' = 70°.
14. Так как ∠2 + ∠2' = 180°, имеем систему уравнений:
    • ∠2 - ∠2' = 70°
    • ∠2 + ∠2' = 180°
15. Сложим два уравнения: 2∠2 = 250°, откуда ∠2 = 125°.
16. Так как ∠2 = ∠3, то ∠3 = 125°.
17. Проверим: ∠1 = 250° - ∠2 = 250° - 125° = 125°.
18. Угол ∠1 и угол ∠2' (смежный с ∠2) должны быть односторонними. ∠2' = 180° - ∠2 = 180° - 125° = 55°.
19. ∠1 + ∠2' = 125° + 55° = 180°. Это условие выполняется.

Ответ: ∠3 = 125°.