Вариант 2. № 4. В окружности с центром О проведены диаметр MN и хорды NF и NK так, что NF=NK (рис.65). Докажите, что ∠MNK=∠MNF.

Доказательство:

1. Так как \( NF = NK \), то дуги \( NF \) и \( NK \) равны. Обозначим меру дуги \( \widehat{NF} = \widehat{NK} = \alpha \).

2. Угол \( \angle NMF \) — вписанный, опирается на дугу \( \widehat{NF} \). Поэтому \( \angle NMF = \frac{1}{2} \widehat{NF} = \frac{\alpha}{2} \).

3. Угол \( \angle KMF \) — вписанный, опирается на дугу \( \widehat{KF} \). Дуга \( \widehat{KF} = \widehat{NK} + \widehat{NF} = \alpha + \alpha = 2\alpha \) (так как \( MN \) — диаметр, \( \widehat{MN} = 180^{\circ} \), и \( \angle MKF = 90^{\circ} \), но это нам не поможет).

4. Рассмотрим угол \( \angle MNK \). Он вписан и опирается на дугу \( \widehat{NK} \). Следовательно, \( \angle MNK = \frac{1}{2} \widehat{NK} = \frac{\alpha}{2} \).

5. Рассмотрим угол \( \angle MFN \). Он вписан и опирается на диаметр \( MN \). Следовательно, \( \angle MFN = 90^{\circ} \).

6. Рассмотрим угол \( \angle MNF \). Он вписан и опирается на дугу \( \widehat{MF} \). Дуга \( \widehat{MF} \) = \( \widehat{MK} + \widehat{KF} \).

7. Проще рассмотреть симметрию относительно диаметра MN. Так как хорды \( NF \) и \( NK \) равны, они равноудалены от центра и симметричны относительно диаметра, проходящего через точку N и середину хорды FK.

8. Также, поскольку \( NF = NK \), то и углы, опирающиеся на эти хорды, равны. Угол \( \angle NMF \) опирается на \( \widehat{NF} \) и \( \angle KMF \) опирается на \( \widehat{KF} \).

9. Треугольник \( \triangle NKF \) — равнобедренный с \( NK = NF \). Следовательно, углы при основании равны: \( \angle NKF = \angle NFF \).

10. \( \angle MNK \) — вписанный угол, опирающийся на дугу \( \widehat{NK} \).

11. \( \angle MNF \) — вписанный угол, опирающийся на дугу \( \widehat{NF} \).

12. Так как \( \widehat{NK} = \widehat{NF} \), то и вписанные углы, опирающиеся на эти равные дуги, равны. Следовательно, \( \angle MNK = \angle MNF \).

Что и требовалось доказать.