Вариант 2. № 1. В окружности с центром О проведены диаметр АС и радиус ОВ так, что хорда ВС равна радиусу. Найдите ∠AOB, если ∠BCO = 60°.

Решение:

1. Треугольник \( OBC \) равнобедренный, так как \( OB = OC \) (радиусы). Следовательно, \( \angle OBC = \angle OCB = 60^{\circ} \).

2. Так как два угла в \( \triangle OBC \) равны \( 60^{\circ} \), третий угол \( \angle BOC = 180^{\circ} - (60^{\circ} + 60^{\circ}) = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ} \). Следовательно, \( \triangle OBC \) — равносторонний.

3. \( \angle AOB \) и \( \angle BOC \) — смежные углы, так как \( AC \) — диаметр. Их сумма равна \( 180^{\circ} \).

4. \( \angle AOB = 180^{\circ} - \angle BOC = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ} \).

Ответ: \( \angle AOB = 120^{\circ} \).