Вариант 2. № 3. К окружности с центром О проведена касательная АВ (А- точка касания). Найдите радиус окружности, если ОВ=10 см и ∠ABO=30°.

Решение:

1. Радиус \( OA \) перпендикулярен касательной \( AB \) в точке касания \( A \). Значит, \( \angle OAB = 90^{\circ} \).

2. Треугольник \( OAB \) — прямоугольный.

3. В прямоугольном треугольнике \( OAB \) катет \( OA \) (радиус) лежит против угла \( \angle ABO \). Отношение противолежащего катета к гипотенузе равно синусу угла: \( \sin(\angle ABO) = \frac{OA}{OB} \).

4. Подставим известные значения: \( \sin(30^{\circ}) = \frac{OA}{10} \).

5. Так как \( \sin(30^{\circ}) = 0.5 = \frac{1}{2} \), получаем: \( \frac{1}{2} = \frac{OA}{10} \).

6. Решаем уравнение: \( OA = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5 \) см.

Ответ: радиус окружности равен \( 5 \) см.