Вариант 1 1. Дано: ВО = DO, ∠ABC = 45°, ∠BCD = 55°, ∠AOC = 100° (рис. 5.89). Найти: ∠D. Доказать: ДАВО = ACDO. 2. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС угол В равен 42°. Найти: Два других угла треугольника АВС. 3. Точки В и D лежат в разных полуплоскостях относительно прямой АС. Треугольники АВС и ADC — равносторонние. Доказать: АВ || CD. 4. * Дано: ∠EPM = 90°, ∠MEP = 30°, MЕ = 10 см (рис. 5.90). а) Между какими целыми числами заключена длина отрезка ЕР? б) Найдите длину медианы PD.

Решения заданий варианта 1:

1. Для решения данной задачи недостаточно данных.

2. Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC с основанием AC, в котором ∠B = 42°.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Сумма углов треугольника равна 180°.

Пусть ∠A и ∠C - углы при основании AC.

Тогда $$∠A = ∠C = (180° - ∠B) / 2 = (180° - 42°) / 2 = 138° / 2 = 69°$$

Ответ: углы при основании равны 69°.

3. Для решения данной задачи недостаточно данных.

4. Дано: ∠EPM = 90°, ∠MEP = 30°, ME = 10 см.

а) Рассмотрим прямоугольный треугольник EPM. Катет ME лежит против угла в 30°, значит, гипотенуза MP в два раза больше катета ME.

MP = 2 * ME = 2 * 10 = 20 см.

По теореме Пифагора: $$EP = \sqrt{MP^2 - ME^2} = \sqrt{20^2 - 10^2} = \sqrt{400 - 100} = \sqrt{300} = 10\sqrt{3} \approx 17,32$$

Длина отрезка EP заключена между целыми числами 17 и 18.

Ответ: между 17 и 18.

б) В прямоугольном треугольнике EPM медиана PD, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы, то есть $$PD = \frac{1}{2}ME = \frac{1}{2} \cdot 20 = 10 \text{ см}$$.

Ответ: 10 см.