Вариант 3 1. Дано: ∠B = ∠C = 90°, ∠ADC = 50°, ∠ADB = 40° (рис. 5.93). Доказать: ∆ABD = ADCA. 2. В равнобедренном треугольнике угол между боковыми сторонами в три раза больше угла при основании. Найдите углы треугольника. 3. Параллельные прямые а и в пересечены двумя параллельными секущими АВ и CD, причем точки А и С лежат на прямой а, а точки В и D - на прямой в. Доказать: АC = BD. 4. * Дано: АВ = ВС, ВТ = 4 см (рис. 5.94). а) Между какими целыми числами заключена длина отрезка АС? б) Найдите сумму длин отрезков, соединяющих точку Т с серединами сторон АВ и ВС.

Решения заданий варианта 3:

1. Для решения данной задачи недостаточно данных.

2. Пусть в равнобедренном треугольнике ABC ∠A = ∠C = x, тогда ∠B = 3x.

Сумма углов треугольника равна 180°, следовательно ∠A + ∠B + ∠C = 180°.

x + 3x + x = 180°.

5x = 180°.

x = 36°.

∠A = ∠C = 36°, ∠B = 3 * 36° = 108°.

Ответ: ∠A = 36°, ∠C = 36°, ∠B = 108°.

3. Для решения данной задачи недостаточно данных.

4. Дано: AB = BC, BT = 4 см.

а) Рассмотрим прямоугольный треугольник ABС. Так как углы при основании равнобедренного треугольника равны, то ∠BAC = ∠BCA = (180 - 30) / 2 = 75°.

Так как ∠BTC = 30°, то BC > BT.

По теореме синусов: $$\frac{BT}{\sin∠BCA} = \frac{BC}{\sin∠BTC}$$.

$$\frac{4}{\sin75°} = \frac{BC}{\sin30°}$$.

$$BC = \frac{4 \cdot \sin30°}{\sin75°} = \frac{4 \cdot 0.5}{0.97} = \frac{2}{0.97} \approx 2,06 $$

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABТ. Тангенс угла - это отношение противолежащего катета к прилежащему.

$$\frac{AT}{BT} = tg30°$$.

$$AT = BT \cdot tg30° = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{4\sqrt{3}}{3} \approx 2,31$$.

Тогда $$AC = AT + TC = AT + BT = 2,31 + 4 = 6,31$$

Длина отрезка АC заключена между целыми числами 6 и 7.

Ответ: между 6 и 7.

б) Пусть M - середина стороны AB, N - середина стороны BC.

Тогда TM = (AB) / 2 - AT.

$$AB = 2,06 \cdot 2 = 4,12$$

$$TM = \frac{4,12}{2} - 2,31 = 2,06 - 2,31 = -0,25$$

TN = (BC) / 2 - TC

TN = 2,06 / 2 - 4 = 1,03 - 4 = -2,97

Рассчитать сумму длин отрезков не представляется возможным, так как значения получаются отрицательными. Вероятно, в условии задачи допущена ошибка.