Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Вариант 4 1. Дано: ∠B = ∠C = 90°, ∠ADB = 40°, ∠BDC = 10° (рис. 5.95). Доказать: AABD = ADCA. 2. В равнобедренном треугольнике угол при основании в четыре раза больше угла между боковыми сторонами. Найдите углы треугольника. 3. Параллельные прямые а и в пересечены двумя параллельными секущими АВ и CD, причем точки А и С принадлежат прямой а, а точки В и D - прямой в. Доказать: AB = CD. 4* Дано: AB = BC, AC = 10 см (рис. 5.96). а) Между какими целыми числами заключена длина высоты ABC? б) Найдите сумму длин отрезков, соединяющих точку Т с серединами сторон АВ и ВС.
Ответ:
Решения заданий варианта 4:
1. Для решения данной задачи недостаточно данных.
2. Пусть в равнобедренном треугольнике ABC ∠A = ∠C = 4x, тогда ∠B = x.
Сумма углов треугольника равна 180°, следовательно ∠A + ∠B + ∠C = 180°.
4x + x + 4x = 180°.
9x = 180°.
x = 20°.
∠A = ∠C = 4 * 20° = 80°, ∠B = 20°.
Ответ: ∠A = 80°, ∠C = 80°, ∠B = 20°.
3. Для решения данной задачи недостаточно данных.
4. Дано: AB = BC, AC = 10 см.
a) Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC, в котором AB = BC, а ∠BAC = ∠BCA = (180 - 60) / 2 = 60°.
Тогда треугольник ABC - равносторонний, и все его стороны равны.
В равностороннем треугольнике все высоты, медианы и биссектрисы совпадают. Высота, проведенная из вершины B, также является медианой и делит сторону AC пополам.
$$AT = TC = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5 \text{ см}$$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник ABТ. Тангенс угла - это отношение противолежащего катета к прилежащему.
$$\frac{BT}{AT} = tg60°$$.
$$BT = AT \cdot tg60° = 5 \cdot \sqrt{3} \approx 8,66$$.
Длина высоты заключена между целыми числами 8 и 9.
Ответ: между 8 и 9.
б) Пусть M - середина стороны AB, N - середина стороны BC.
В равностороннем треугольнике медиана является также высотой. Значит, TM ⊥ AB и TN ⊥ BC.
$$TM = \frac{1}{2}BT = \frac{1}{2} \cdot 8,66 = 4,33 \text{ см}$$.
$$TN = \frac{1}{2}BT = \frac{1}{2} \cdot 8,66 = 4,33 \text{ см}$$.
Тогда сумма длин отрезков, соединяющих точку T с серединами сторон AB и BC, равна:
TM + TN = 4,33 + 4,33 = 8,66 см.
Ответ: 8,66 см.
Похожие
- Вариант 1 1. Дано: ВО = DO, ∠ABC = 45°, ∠BCD = 55°, ∠AOC = 100° (рис. 5.89). Найти: ∠D. Доказать: ДАВО = ACDO. 2. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС угол В равен 42°. Найти: Два других угла треугольника АВС. 3. Точки В и D лежат в разных полуплоскостях относительно прямой АС. Треугольники АВС и ADC — равносторонние. Доказать: АВ || CD. 4. * Дано: ∠EPM = 90°, ∠MEP = 30°, MЕ = 10 см (рис. 5.90). а) Между какими целыми числами заключена длина отрезка ЕР? б) Найдите длину медианы PD.
- Вариант 2 1. Дано: АВ = CD, ∠ABC = 65°, ∠ADC = 45°, ∠AOС = 110° (рис. 5.91). Найти: С. Доказать: ДАВО = ADCO. 2. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС сумма углов А и С равна 156°. Найти: углы треугольника АВС. 3. Точки В и В лежат в разных полуплоскостях относительно прямой АС. Треугольники АВС и ADC - равнобедренные прямоугольные (∠B = ∠D = 90°). Доказать: АВ || CD. 4. * Дано: ∠DBC = 90°, ∠BDC = 60°, BD = 4 см (рис. 5.92). а) Между какими целыми числами заключена длина отрезка ВС? б) Найдите длину медианы ВЕ.
- Вариант 3 1. Дано: ∠B = ∠C = 90°, ∠ADC = 50°, ∠ADB = 40° (рис. 5.93). Доказать: ∆ABD = ADCA. 2. В равнобедренном треугольнике угол между боковыми сторонами в три раза больше угла при основании. Найдите углы треугольника. 3. Параллельные прямые а и в пересечены двумя параллельными секущими АВ и CD, причем точки А и С лежат на прямой а, а точки В и D - на прямой в. Доказать: АC = BD. 4. * Дано: АВ = ВС, ВТ = 4 см (рис. 5.94). а) Между какими целыми числами заключена длина отрезка АС? б) Найдите сумму длин отрезков, соединяющих точку Т с серединами сторон АВ и ВС.
