В3. Шар радиусом R = 13 см пересечён плоскостью на расстоянии d = 5 см от центра. Найдите площадь сечения и сравните её с площадью поверхности всего шара.

Решение:

Радиус шара \( R = 13 \) см.

Расстояние от центра шара до плоскости \( d = 5 \) см.

Сечение шара плоскостью есть круг. Радиус этого круга \( r \) можно найти по теореме Пифагора: \( r^2 = R^2 - d^2 \).

\( r^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144 \)

\( r = \sqrt{144} = 12 \) см.

Площадь сечения (площадь круга) равна \( S_{сечения} = \pi r^2 \).

\( S_{сечения} = \pi \cdot 12^2 = 144\pi \) см².

Площадь поверхности всего шара равна \( S_{шара} = 4\pi R^2 \).

\( S_{шара} = 4\pi \cdot 13^2 = 4\pi \cdot 169 = 676\pi \) см².

Сравним площади:

\( S_{сечения} = 144\pi \) см².

\( S_{шара} = 676\pi \) см².

\( 144\pi < 676\pi \)

Ответ: Площадь сечения равна \( 144\pi \) см². Площадь сечения меньше площади поверхности шара.