В ящике 49 шаров с номерами от 1 до 49. Из ящика вынимают 6 случайных шаров. Вычислите математическое ожидание суммы чисел на вынутых шарах, если: а) каждый шар возвращается в ящик; б) вынутые шары не возвращаются.

Решение:

Сначала найдём математическое ожидание числа на одном шаре.

Так как шары пронумерованы от 1 до 49, математическое ожидание числа на одном шаре равно среднему арифметическому чисел от 1 до 49.

E(число на одном шаре) = \( \frac{1 + 2 + ... + 49}{49} = \frac{\frac{49 \cdot (49+1)}{2}}{49} = \frac{49 \cdot 50}{2 \cdot 49} = \frac{50}{2} = 25 \)

а) Каждый шар возвращается в ящик.

В этом случае выбор каждого шара является независимым событием, и математическое ожидание суммы чисел равно сумме математических ожиданий чисел на каждом шаре.

E(суммы 6 шаров) = 6 \( \times \) E(число на одном шаре) = \( 6 \times 25 = 150 \)

б) Вынутые шары не возвращаются.

В этом случае выбор шаров также является независимым (при учёте, что мы можем посчитать ожидания для каждого шага). Тем не менее, ожидание суммы чисел на 6 случайно выбранных шарах остается тем же, что и в случае возвращения, потому что ожидание каждого шара одинаково на момент выбора, и мы усредняем по всем возможным наборам.

E(суммы 6 шаров) = 6 \( \times \) E(число на одном шаре) = \( 6 \times 25 = 150 \)

Ответ: а) 150; б) 150.