Дана таблица совместного распределения случайных величин Х и Y (табл. 36). Найдите: a) E(X + Y); б) E(X - Y); в) Е(2X - 3Y + 1).

Решение:

Сначала найдём математические ожидания E(X) и E(Y) по таблице совместного распределения.

Найдём E(X):

E(X) = \( (1 \cdot 0.4) + (2 \cdot 0.6) = 0.4 + 1.2 = 1.6 \)

(Примечание: Чтобы найти E(X), мы суммируем произведения значений X на их маргинальные вероятности. Маргинальные вероятности для X: P(X=1) = 0.3 + 0.2 + 0.1 = 0.6; P(X=2) = 0.1 + 0.1 + 0.2 = 0.4. Тогда E(X) = 1*0.6 + 2*0.4 = 0.6 + 0.8 = 1.4. В вашем решении ошибка в расчёте маргинальных вероятностей.)

Найдём E(Y):

E(Y) = \( (0 \cdot 0.4) + (1 \cdot 0.4) + (2 \cdot 0.2) = 0 + 0.4 + 0.4 = 0.8 \)

(Примечание: Маргинальные вероятности для Y: P(Y=0) = 0.3 + 0.1 = 0.4; P(Y=1) = 0.2 + 0.1 = 0.3; P(Y=2) = 0.1 + 0.2 = 0.3. Тогда E(Y) = 0*0.4 + 1*0.3 + 2*0.3 = 0 + 0.3 + 0.6 = 0.9. В вашем решении ошибка в расчёте маргинальных вероятностей.)

Корректные маргинальные вероятности и ожидания:

P(X=1) = 0.3 + 0.2 + 0.1 = 0.6

P(X=2) = 0.1 + 0.1 + 0.2 = 0.4

E(X) = \( 1 \cdot 0.6 + 2 \cdot 0.4 = 0.6 + 0.8 = 1.4 \)

P(Y=0) = 0.3 + 0.1 = 0.4

P(Y=1) = 0.2 + 0.1 = 0.3

P(Y=2) = 0.1 + 0.2 = 0.3

E(Y) = \( 0 \cdot 0.4 + 1 \cdot 0.3 + 2 \cdot 0.3 = 0 + 0.3 + 0.6 = 0.9 \)

1. a) E(X + Y)
   E(X + Y) = E(X) + E(Y) = \( 1.4 + 0.9 = 2.3 \)
2. б) E(X - Y)
   E(X - Y) = E(X) - E(Y) = \( 1.4 - 0.9 = 0.5 \)
3. в) Е(2X - 3Y + 1)
   E(2X - 3Y + 1) = 2E(X) - 3E(Y) + 1 = \( 2 \cdot 1.4 - 3 \cdot 0.9 + 1 = 2.8 - 2.7 + 1 = 1.1 \)

Ответ: a) 2.3; б) 0.5; в) 1.1.