4. В выпуклом четырехугольнике ABCD AB=3см, СВ=12см, CD=27см, AD=4см, BD=9см. Докажите, что ABCD-трапеция.

4. Дано: ABCD - выпуклый четырехугольник, AB = 3 см, CB = 12 см, CD = 27 см, AD = 4 см, BD = 9 см.

Доказать: ABCD - трапеция.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники ABD и BDC.

$$\frac{AB}{CD} = \frac{3}{27} = \frac{1}{9}$$

$$\frac{AD}{BC} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$$

$$\frac{BD}{BD} = \frac{9}{9} = 1$$

Рассмотрим треугольники ABD и BDC.

$$\frac{AB}{CD}=\frac{3}{27}=\frac{1}{9}$$

$$\frac{AD}{BC}=\frac{4}{36}=\frac{1}{9}$$

$$\frac{BD}{DB}=\frac{9}{81}=\frac{1}{9}$$

Следовательно, треугольники ABD и CDB подобны по третьему признаку подобия треугольников (три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника).

Из подобия треугольников следует, что углы между соответствующими сторонами равны: ∠ABD = ∠CDB и ∠ADB = ∠CBD.

Равенство углов ∠ABD и ∠CDB говорит о том, что прямые AB и CD параллельны (∠ABD и ∠CDB являются накрест лежащими углами при прямых AB и CD и секущей BD).

Тогда ABCD - трапеция, так как две стороны (AB и CD) параллельны, а две другие (AD и BC) не параллельны.

Ответ: Что и требовалось доказать