В треугольнике АВС угол С равен 90°, АВ = 27, sin A = \frac{2√2}{3}. Найдите длину стороны АС.

Ответ: 9

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC с углом C = 90°, гипотенуза AB = 27 и sin A = (2√2)/3. Найдем длину катета AC.

1. Найдем cos A, используя основное тригонометрическое тождество:

\[ sin^2 A + cos^2 A = 1 \]

\[ cos^2 A = 1 - sin^2 A = 1 - (\frac{2\sqrt{2}}{3})^2 = 1 - \frac{4 \cdot 2}{9} = 1 - \frac{8}{9} = \frac{1}{9} \]

\[ cos A = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3} \]

2. Косинус угла A определяется как отношение прилежащего катета AC к гипотенузе AB:

\[ cos A = \frac{AC}{AB} \]

3. Подставим известные значения:

\[ \frac{1}{3} = \frac{AC}{27} \]

4. Найдем AC:

\[ AC = \frac{1}{3} \cdot 27 = 9 \]

Ответ: 9