В треугольнике АВС угол C равен 90°, СH — высота, АВ = 36, sin A = \frac{5}{6}. Найдите длину отрезка АН.

Ответ: 11

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC (угол C = 90°) известны гипотенуза AB = 36, sin A = 5/6, CH — высота.

Найти AH.

1. Найдем cos A, используя основное тригонометрическое тождество:

\[ sin^2 A + cos^2 A = 1 \]

\[ cos^2 A = 1 - sin^2 A \]

\[ cos^2 A = 1 - (\frac{5}{6})^2 = 1 - \frac{25}{36} = \frac{36 - 25}{36} = \frac{11}{36} \]

\[ cos A = \sqrt{\frac{11}{36}} = \frac{\sqrt{11}}{6} \]

2. В прямоугольном треугольнике ACH:

\[ cos A = \frac{AH}{AC} \]

3. В прямоугольном треугольнике ABC:

\[ sin A = \frac{BC}{AB} \]

\[ BC = AB \cdot sin A = 36 \cdot \frac{5}{6} = 6 \cdot 5 = 30 \]

4. Найдем AC по теореме Пифагора для треугольника ABC:

\[ AC^2 = AB^2 - BC^2 = 36^2 - 30^2 = 1296 - 900 = 396 \]

\[ AC = \sqrt{396} = 6\sqrt{11} \]

5. Теперь найдем AH:

\[ cos A = \frac{AH}{AC} \]

\[ AH = AC \cdot cos A = 6\sqrt{11} \cdot \frac{\sqrt{11}}{6} = 11 \]

Ответ: 11