В треугольнике АВС даны координаты: А(1; 2), B(4; -1), C(7; 6). Найдите длину медианы, проведенной из вершины А (примечание: медиана идет к середине стороны ВС).

Решение:

1. Найдем координаты точки М — середины стороны ВС. Координаты середины отрезка вычисляются как среднее арифметическое координат его концов:
   \(M_x = \frac{B_x + C_x}{2} = \frac{4 + 7}{2} = \frac{11}{2}\)
   \(M_y = \frac{B_y + C_y}{2} = \frac{-1 + 6}{2} = \frac{5}{2}\)
   Итак, координаты точки М: \(M(\frac{11}{2}; \frac{5}{2})\).
2. Теперь найдем длину медианы AM, используя формулу расстояния между двумя точками \(A(x_1, y_1)\) и \(M(x_2, y_2)\): \(d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\)
   \(AM = \sqrt{(\frac{11}{2} - 1)^2 + (\frac{5}{2} - 2)^2}\)
   \(AM = \sqrt{(\frac{11}{2} - \frac{2}{2})^2 + (\frac{5}{2} - \frac{4}{2})^2}\)
   \(AM = \sqrt{(\frac{9}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2}\)
   \(AM = \sqrt{\frac{81}{4} + \frac{1}{4}}\)
   \(AM = \sqrt{\frac{82}{4}} = \sqrt{\frac{41}{2}}\)
   \(AM = \frac{\sqrt{82}}{2}\)

Ответ: \(AM = \frac{\sqrt{82}}{2}\).