Дан параллелограмм ABCD. Точка М — середина стороны ВС. Выразите вектор \( \vec{AM} \) через векторы \( \vec{p} = \vec{AB} \) и \( \vec{q} = \vec{AD} \).

Решение:

В параллелограмме ABCD:

• \( \vec{AB} = \vec{p} \)
• \( \vec{AD} = \vec{q} \)
• \( \vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{p} + \vec{AD} = \vec{p} + \vec{q} \) (по правилу параллелограмма)
• \( \vec{BC} = \vec{AD} = \vec{q} \) (как противоположные стороны параллелограмма)
• \( \vec{BM} = \frac{1}{2} \vec{BC} = \frac{1}{2} \vec{q} \) (так как М — середина ВС)

Теперь найдем вектор \( \vec{AM} \). Используем правило треугольника для сложения векторов:

\[ \vec{AM} = \vec{AB} + \vec{BM} \]

Подставим выражения для \( \vec{AB} \) и \( \vec{BM} \):

\[ \vec{AM} = \vec{p} + \frac{1}{2} \vec{q} \]

Ответ: \( \vec{AM} = \vec{p} + \frac{1}{2} \vec{q} \).