При каком значении k векторы \( \vec{a} = (k; 4; 6) \) и \( \vec{b} = (-3; 2; k) \) будут перпендикулярны?

Решение:

Два вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю.

Скалярное произведение векторов \( \vec{a} = (k; 4; 6) \) и \( \vec{b} = (-3; 2; k) \) равно:

\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = (k \cdot -3) + (4 \cdot 2) + (6 \cdot k) \]

Приравняем скалярное произведение к нулю:

\[ -3k + 8 + 6k = 0 \]

Решим полученное уравнение:

\[ 3k + 8 = 0 \]

\[ 3k = -8 \]

\[ k = -\frac{8}{3} \]

Ответ: \( k = -\frac{8}{3} \).