Даны векторы \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \). Известно, что \( |\vec{a}| = 2 \), \( |\vec{b}| = 5 \), а угол между ними равен 60°. Найдите длину вектора \( \vec{a} + \vec{b} \).

Решение:

Длина вектора \( \vec{a} + \vec{b} \) находится по формуле:

\[ |\vec{a} + \vec{b}|^2 = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = \vec{a}^2 + 2 \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b}^2 \]

Где \( \vec{a}^2 = |\vec{a}|^2 \) и \( \vec{b}^2 = |\vec{b}|^2 \).

Скалярное произведение \( \vec{a} \cdot \vec{b} \) равно \( |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha) \), где \( \alpha \) — угол между векторами.

1. Подставим известные значения в формулу скалярного произведения:
   \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 5 \cdot \cos(60^{\circ}) = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5 \]
2. Теперь найдём квадрат длины вектора \( \vec{a} + \vec{b} \):
   \[ |\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + 2 \vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2 = 2^2 + 2 \cdot 5 + 5^2 = 4 + 10 + 25 = 39 \]
3. Наконец, найдём длину вектора \( \vec{a} + \vec{b} \):
   \[ |\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{39} \]

Ответ: \( \sqrt{39} \).