25 В треугольнике АВС биссектриса ВЕ и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 24. Найдите стороны треугольника АBC.

Пусть в треугольнике $$ABC$$ биссектриса $$BE$$ и медиана $$AD$$ перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 24. Пусть $$O$$ - точка пересечения $$BE$$ и $$AD$$. Тогда $$BO = OE = 12$$ (так как $$AD$$ - высота и биссектриса в треугольнике $$ABE$$, то $$ABE$$ - равнобедренный и $$AO$$ - медиана и высота). Значит, $$AE = AB$$. Так как $$AO$$ - медиана, то $$AO = OD = x$$. Тогда $$AD = 2x = 24$$, значит $$x = 12$$. Таким образом, $$AO = OD = 12$$. Рассмотрим треугольник $$AOB$$. Он прямоугольный. $$AO = 12$$ и $$BO = 12$$. Значит, $$AB = \sqrt{AO^2 + BO^2} = \sqrt{12^2 + 12^2} = \sqrt{2 \cdot 12^2} = 12\sqrt{2}$$. Тогда $$AE = AB = 12\sqrt{2}$$. Так как $$AD$$ - медиана, то $$BD = DC = y$$. По теореме Менелая для треугольника $$ADC$$ и прямой $$BE$$: $$\frac{AE}{EC} \cdot \frac{CB}{BD} \cdot \frac{DO}{OA} = 1$$ $$\frac{12\sqrt{2}}{EC} \cdot \frac{2y}{y} \cdot \frac{12}{12} = 1$$ $$\frac{12\sqrt{2}}{EC} \cdot 2 = 1$$ $$EC = 24\sqrt{2}$$ Тогда $$AC = AE + EC = 12\sqrt{2} + 24\sqrt{2} = 36\sqrt{2}$$. Рассмотрим треугольник $$BOD$$. $$BO = 12$$ и $$OD = 12$$. Тогда $$BD = \sqrt{BO^2 + OD^2}$$. $$BD = \sqrt{12^2 + 12^2} = 12\sqrt{2}$$. Тогда $$BC = 2BD = 24\sqrt{2}$$. Ответ: $$AB=12\sqrt{2}$$, $$AC=36\sqrt{2}$$, $$BC=24\sqrt{2}$$