В треугольнике ABC угол C равен 90°, AB=18, sin A= √35 / 6. Найдите длину стороны AC.

Решение:

В прямоугольном треугольнике \( ABC \) с прямым углом \( C \) имеем:

• Гипотенуза \( AB = 18 \).
• \( \sin A = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{BC}{AB} \)
• \( \cos A = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AC}{AB} \)

Нам дано \( \sin A = \frac{\sqrt{35}}{6} \).

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: \( \sin^2 A + \cos^2 A = 1 \).

\[ \cos^2 A = 1 - \sin^2 A = 1 - \left(\frac{\sqrt{35}}{6}\right)^2 = 1 - \frac{35}{36} = \frac{36 - 35}{36} = \frac{1}{36} \]

Так как \( A \) — угол острого треугольника, то \( \cos A > 0 \). Следовательно,

\[ \cos A = \sqrt{\frac{1}{36}} = \frac{1}{6} \]

Теперь найдём длину стороны \( AC \):

\[ AC = AB \cdot \cos A = 18 \cdot \frac{1}{6} = \frac{18}{6} = 3 \]

Ответ: 3