В треугольнике ABC AC = BC, AB = 12, AH — высота, BH = 3. Найдите косинус угла.

Так как \(AH\) — высота к стороне \(BC\), треугольник \(ABH\) прямоугольный. В нём \(AB=12\), \(BH=3\).

По теореме Пифагора: \(AH=\sqrt{AB^2-BH^2}=\sqrt{12^2-3^2}=\sqrt{135}=3\sqrt{15}\).

На рисунке требуется косинус угла \(BAC\). В прямоугольном треугольнике \(ABH\) этот угол совпадает с углом \(BAH\), поэтому \(\cos\angle BAC=\dfrac{AH}{AB}=\dfrac{3\sqrt{15}}{12}=\dfrac{\sqrt{15}}4\).

Ответ: \(\dfrac{\sqrt{15}}4\).