4.В треугольнике ABC ∠A = 30°, ∠B = 75°, высота BD равна 6 см. Найдите площадь треугольника АВС.

4. Пусть h – высота треугольника, a – сторона, к которой проведена высота, S – площадь треугольника.

Сумма углов треугольника равна 180°.

∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 30° - 75° = 75°

Так как углы ∠B и ∠C равны, то треугольник ABC – равнобедренный, следовательно, AB = AC.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD. В нём ∠A = 30°, катет BD = 6 см является противолежащим углу 30°.

Тогда гипотенуза AB = 2BD = 2 · 6 = 12 см.

Следовательно, AC = 12 см.

Площадь треугольника можно найти по формуле:

$$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 6 = 36 \text{ см}^2$$

Ответ: 36 см²