5. В трапеции АВСD с основаниями AD и ВС диагонали пересекаются в точке О, ВС = 6 см, AD = 14 см, а отрезок ВО на 2 см меньше от резка OD. Найдите диагональ BD трапеции.

5. В трапеции ABCD AD || BC. Следовательно, треугольники BOC и AOD подобны по двум углам (угол BOC = углу AOD как вертикальные, угол CBO = углу ADO как накрест лежащие углы при параллельных прямых BC и AD и секущей BD).

Запишем отношение соответственных сторон:

$$ \frac{BC}{AD} = \frac{BO}{OD} $$.

Пусть BO = x, тогда OD = x + 2. Подставим известные значения:

$$ \frac{6}{14} = \frac{x}{x + 2} $$.

$$ 6(x + 2) = 14x $$.

$$ 6x + 12 = 14x $$.

$$ 8x = 12 $$.

$$ x = 1,5 \text{ см} $$.

BO = 1,5 см, OD = 1,5 + 2 = 3,5 см.

Найдем диагональ BD трапеции:

$$ BD = BO + OD = 1,5 + 3,5 = 5 \text{ см}$$.

Ответ: BD = 5 см.