1. На рисунке 15 MO || NP, OР = 20 см, РК = 8 см, MN = 15 см. Найдите отре- зок NK.

1. Рассмотрим рисунок 15. Прямые MO и NP параллельны, значит, треугольники MOK и NPK подобны по двум углам (угол MOK = углу NPK как соответственные углы при параллельных прямых MO и NP и секущей OK, угол MKO = углу NKP как вертикальные).

Запишем отношение соответственных сторон:

$$ \frac{MO}{NP} = \frac{OK}{PK} = \frac{MK}{NK} $$.

Выразим OK:

$$ OK = OP + PK = 20 + 8 = 28 \text{ см} $$.

Тогда:

$$ \frac{OK}{PK} = \frac{28}{8} = \frac{7}{2} $$.

Так как четырехугольник MONP - трапеция, то MO = NP. Следовательно, \(\frac{MO}{NP} = 1\). Но \(\frac{OK}{PK} = \frac{7}{2}\), значит, условие задачи некорректно.

Если предположить, что MO не параллельна NP, то OK = OP + PK, MK = MN + NK. Тогда

$$ \frac{OP + PK}{PK} = \frac{MN + NK}{NK} $$.

$$ \frac{20 + 8}{8} = \frac{15 + NK}{NK} $$.

$$ \frac{28}{8} = \frac{15 + NK}{NK} $$.

$$ 28NK = 8(15 + NK) $$.

$$ 28NK = 120 + 8NK $$.

$$ 20NK = 120 $$.

$$ NK = 6 \text{ см} $$.

Ответ: 6 см