4. На стороне АВ треугольника АВС отметили точку D так, что AD : BD = 5 : 3. Через точку D провели прямую, которая параллель- на стороне АС треугольника и пересекает сторону ВС в точке Е. Най- дите отрезок DE, если АС = 16 см.

4. В треугольнике ABC DE || AC. Следовательно, треугольники ABC и DBE подобны по двум углам (угол B - общий, угол BAC = углу BDE как соответственные углы при параллельных прямых AC и DE и секущей AB).

Запишем отношение соответственных сторон:

$$ \frac{DE}{AC} = \frac{BD}{AB} $$.

Так как AD : BD = 5 : 3, то введем коэффициент пропорциональности x. Тогда AD = 5x, BD = 3x. Следовательно, AB = AD + BD = 5x + 3x = 8x.

Выразим отношение \(\frac{BD}{AB}\):

$$ \frac{BD}{AB} = \frac{3x}{8x} = \frac{3}{8} $$.

Тогда:

$$ \frac{DE}{16} = \frac{3}{8} $$.

Выразим DE:

$$ DE = \frac{16 \cdot 3}{8} = 2 \cdot 3 = 6 \text{ см} $$.

Ответ: DE = 6 см.