3. В трапеции ABCD углы A и B прямые. Диагональ AC - биссектриса угла A и равна 6 см. Найдите площадь трапеции, если угол CDA равен 60°.

Так как $$\angle BAC = \angle CAD$$ и $$\angle BAC = 45^\circ$$ (потому что $$\angle BAD = 90^\circ$$), то $$\angle CAD = 45^\circ$$. В прямоугольном треугольнике $$ABC$$: $$\angle ACB = 90^\circ - \angle BAC = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$$. Следовательно, треугольник $$ABC$$ равнобедренный, и $$AB = BC$$. В прямоугольном треугольнике $$ABC$$: $$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 2AB^2$$, откуда $$AB = \frac{AC}{\sqrt{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}$$. Проведем высоту $$CH$$ из вершины $$C$$ на сторону $$AD$$. Тогда в прямоугольном треугольнике $$CHD$$: $$\angle D = 60^\circ$$, значит, $$\angle HCD = 30^\circ$$. $$CD = \frac{CH}{\sin{60^\circ}} = \frac{3\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{6}$$. $$HD = CD * \cos{60^\circ} = 2\sqrt{6} * \frac{1}{2} = \sqrt{6}$$. Тогда $$AD = AH + HD = BC + HD = 3\sqrt{2} + \sqrt{6}$$. Площадь трапеции $$ABCD$$ равна: $$S = \frac{BC + AD}{2} * AB = \frac{3\sqrt{2} + 3\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2} * 3\sqrt{2} = \frac{6\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2} * 3\sqrt{2} = (3\sqrt{2} + \frac{\sqrt{6}}{2}) * 3\sqrt{2} = 18 + \frac{3\sqrt{12}}{2} = 18 + \frac{3 * 2\sqrt{3}}{2} = 18 + 3\sqrt{3}$$. Ответ: Площадь трапеции равна $$18 + 3\sqrt{3}$$ см$$^2$$.