4 В трапеции ABCD (AD и BC основания) диагонали пересекаются в точке О, AD = 12 см, ВС = 4 см. Найдите площадь треугольника ВОС, если площадь треугольника AOD равна 45 см²

Рассмотрим треугольники AOD и BOC.

Угол AOD = углу BOC (как вертикальные).

Угол DAO = углу BCO (как накрест лежащие при параллельных прямых AD и BC и секущей AC).

Следовательно, треугольники AOD и BOC подобны по двум углам (первый признак подобия треугольников).

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

$$\frac{S_{BOC}}{S_{AOD}} = (\frac{BC}{AD})^2$$

$$\frac{S_{BOC}}{45} = (\frac{4}{12})^2 = (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$$

$$S_{BOC} = \frac{45}{9} = 5$$ см²

Ответ: 5 см²