1 По рисунку 1 вычислите значение ОВ, отношение АС: BD, отношение площадей треугольников АОС и BOD, если угол А равен углу В, DO =6 см, АО = 5 см, СО = 4 см.

Рассмотрим треугольники АОС и BOD.

Угол А равен углу В (по условию).

Угол АОС равен углу BOD (как вертикальные).

Следовательно, треугольники АОС и BOD подобны по двум углам (первый признак подобия треугольников).

Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон:

$$\frac{AO}{BO} = \frac{CO}{DO}$$, где AO = 5 см, CO = 4 см, DO = 6 см.

$$\frac{5}{BO} = \frac{4}{6}$$

$$BO = \frac{5 \cdot 6}{4} = \frac{30}{4} = 7.5$$ см.

$$OB = 7.5$$ см.

Отношение сторон AC : BD:

$$\frac{AC}{BD} = \frac{AO}{BO} = \frac{CO}{DO} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$

Отношение площадей треугольников АОС и BOD:

Так как треугольники подобны, то отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия:

$$\frac{S_{AOC}}{S_{BOD}} = (\frac{AC}{BD})^2 = (\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9}$$

Ответ: OB = 7.5 см, AC : BD = 2/3, S_AOC : S_BOD = 4/9