19. В сосуде имеется несколько одинаковых кранов, которые открывают один за другим через равные промежутки времени. Через 8 часов после того, как был включен последний кран, сосуд был заполнен. Время, в течение которого были открыты первый и последний краны относятся как 5: 1. Через сколько времени заполнится сосуд, если открыть все краны одновременно? Ответ дайте в часах.

Пошаговое решение:

• Пусть \( t \) - время работы последнего крана.
• Тогда время работы первого крана - \( 5t \).
• Разность арифметической прогрессии - это время между открытием кранов.
• Пусть \( n \) - количество кранов. Тогда время между первым и последним краном \( (n-1)d = 5t - t = 4t \).
• Значит, \( d = \frac{4t}{n-1} \).
• Сумма времен работы всех кранов: \( S = \frac{n(t + 5t)}{2} = \frac{6nt}{2} = 3nt \).
• По условию, \( 3nt = 8 \).
• Когда все краны открыты одновременно, каждый кран работает с вкладом \( \frac{1}{n} \).
• Общая скорость наполнения - \( n \cdot \frac{1}{n} = 1 \), значит сосуд наполнится за 1 час.

Ответ: 1 час