25. В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 180, а площадь равна 1620, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.

В равнобедренную трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований равна сумме боковых сторон. Пусть a и b - основания трапеции, c - боковая сторона. Тогда 2c = a + b. Периметр трапеции P = a + b + 2c = 180. Следовательно, a + b + a + b = 180, 2(a + b) = 180, a + b = 90. Тогда c = 45. Площадь трапеции S = ((a + b)/2)*h = 1620, где h - высота трапеции. Так как a + b = 90, то (90/2)*h = 1620, 45h = 1620, h = 36. Высота равнобедренной трапеции, в которую вписана окружность, равна диаметру окружности, следовательно, радиус окружности равен h/2 = 36/2 = 18. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, боковой стороной и частью большего основания. x = (a-b)/2. Боковая сторона равна 45, высота равна 36. \((a-b)/2\) = \(\sqrt{45^2 - 36^2}\) = \(\sqrt{2025 - 1296}\) = \(\sqrt{729}\) = 27. (a-b) = 54 a + b = 90 a - b = 54 Сложим эти два уравнения: 2a = 144, a = 72. b = 90 - 72 = 18. Пусть O - точка пересечения диагоналей, h - высота трапеции, h₁ - расстояние от точки O до меньшего основания. Тогда \(\frac{h_1}{h}\) = \(\frac{b}{a+b}\) , h1 = \(\frac{36*18}{90}\) = \(\frac{36}{5}\) = 7.2. Ответ: 7.2