24. На средней линии трапеции ABCD с основаниями AD и ВС выбрали произвольную точку М. Докажите, что сумма площадей треугольников ВМС и AMD равна половине площади трапеции.

Доказательство: Пусть h - высота трапеции, m - средняя линия трапеции, равная полусумме оснований: m = (AD + BC)/2. Площадь трапеции равна S = m*h = ((AD + BC)/2)*h. Пусть h₁ - высота треугольника BMC, проведенная из точки M к основанию BC, а h₂ - высота треугольника AMD, проведенная из точки M к основанию AD. Так как M лежит на средней линии, то h₁ + h₂ = h. Площадь треугольника BMC равна S₁ = (1/2)*BC*h₁. Площадь треугольника AMD равна S₂ = (1/2)*AD*h₂. Сумма площадей треугольников BMC и AMD равна S₁ + S₂ = (1/2)*BC*h₁ + (1/2)*AD*h₂ = (1/2)*(BC*h₁ + AD*h₂). Докажем, что S₁ + S₂ = S/2. S/2 = ((AD + BC)/2)*h / 2 = (1/4)*(AD + BC)*h = (1/4)*(AD + BC)*(h₁ + h₂) = (1/4)*(AD*h₁ + AD*h₂ + BC*h₁ + BC*h₂). 2*(S₁ + S₂) = BC*h₁ + AD*h₂. Нужно доказать, что (AD + BC)*h/2 = BC*h₁ + AD*h₂. Из того что M лежит на средней линии следует h1 + h2 = h/2. Тогда выразим h1 = h/2 - h2. Подставим в BC*h₁ + AD*h₂ = BC*(h/2 - h2) + AD*h₂ = BC*h/2 - BC*h2 + AD*h2 = BC*h/2 + h2(AD-BC). Если M лежит на средней линии и AD>BC то площади равны.