7. В равнобедренной трапеции угол при основании равен 65°, боковая сторона 8 см, верхнее основание – 10 см. Найдите высоту и нижнее основание трапеции.

Пусть дана равнобедренная трапеция ABCD, где AD - нижнее основание, BC - верхнее основание (BC = 10 см), AB = CD = 8 см - боковые стороны, и угол при основании ∠A = ∠D = 65°. Проведём высоты BH и CE. Тогда AH = DE. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. В нём $$sin A = \frac{BH}{AB}$$, откуда $$BH = AB \cdot sin A = 8 \cdot sin 65°$$. Зная, что $$sin 65° ≈ 0,9063$$, получим $$BH ≈ 8 \cdot 0,9063 ≈ 7,25$$ см. Таким образом, высота трапеции примерно равна 7,25 см. Теперь найдём AH. $$cos A = \frac{AH}{AB}$$, откуда $$AH = AB \cdot cos A = 8 \cdot cos 65°$$. Зная, что $$cos 65° ≈ 0,4226$$, получим $$AH ≈ 8 \cdot 0,4226 ≈ 3,38$$ см. Так как AH = DE, то AD = BC + 2AH = 10 + 2 \cdot 3,38 ≈ 10 + 6,76 ≈ 16,76 см. Ответ: Высота трапеции ≈ 7,25 см, нижнее основание ≈ 16,76 см.