В равнобедренной трапеции основания равны 2 и 14, а боковые 14. стороны по 10. Найдите площадь круга, описанного около трапеции.

Пусть дана равнобедренная трапеция с основаниями a = 2 и b = 14, и боковыми сторонами c = 10. Найдем высоту трапеции h.

Проведем высоты из вершин меньшего основания к большему. Тогда больший отрезок разделится на три отрезка: x, a, x, где a - меньшее основание. Тогда $$2x + a = b$$, $$2x + 2 = 14$$, $$2x = 12$$, $$x = 6$$.

Высоту можно найти по теореме Пифагора:

$$h^2 + x^2 = c^2$$

$$h^2 + 6^2 = 10^2$$

$$h^2 + 36 = 100$$

$$h^2 = 64$$

$$h = 8$$

Найдем радиус описанной окружности по формуле:

$$R = \frac{c\sqrt{ac + c^2}}{4S}$$, где S - площадь трапеции, c - боковая сторона.

$$S = \frac{(a+b)h}{2} = \frac{(2+14)8}{2} = \frac{16 \cdot 8}{2} = 64$$

$$R = \frac{10\sqrt{2 \cdot 14 + 100}}{4 \cdot 64} = \frac{10\sqrt{28 + 100}}{256} = \frac{10\sqrt{128}}{256} = \frac{10\sqrt{64 \cdot 2}}{256} = \frac{10 \cdot 8 \sqrt{2}}{256} = \frac{80\sqrt{2}}{256} = \frac{5\sqrt{2}}{16}$$

Площадь круга, описанного около трапеции:

$$S = \pi R^2 = \pi (\frac{5\sqrt{2}}{16})^2 = \pi \frac{25 \cdot 2}{256} = \frac{50\pi}{256} = \frac{25\pi}{128}$$

Ответ: $$\frac{25\pi}{128}$$