Найдите площадь круга, вписанного в ромб, площадь которого 15. равна 40, а один из углов 30.

Пусть дана площадь ромба $$S = 40$$, один из углов равен 30 градусам. Найдем сторону ромба.

$$S = a^2 \cdot sin(\alpha)$$, где a - сторона ромба, α - один из углов ромба.

$$40 = a^2 \cdot sin(30^\circ)$$, $$40 = a^2 \cdot \frac{1}{2}$$, $$a^2 = 80$$, $$a = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$$

Радиус вписанной окружности в ромб равен половине высоты ромба.

$$h = a \cdot sin(\alpha) = 4\sqrt{5} \cdot sin(30^\circ) = 4\sqrt{5} \cdot \frac{1}{2} = 2\sqrt{5}$$

$$r = \frac{h}{2} = \frac{2\sqrt{5}}{2} = \sqrt{5}$$

Площадь вписанного круга равна:

$$S = \pi r^2 = \pi (\sqrt{5})^2 = 5\pi$$

Ответ: $$5\pi$$