125 В равнобедренном треугольнике АВС с основанием ведена медиана BD. На сторонах АВ и СВ соответственно точки Е и F так, что AE = CF. Докажите: a) ABDE = ABDF; б) △ADE = △CDF.

a) ABDE = ABDF

1. В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) BD - медиана, проведенная к основанию AC. Следовательно, BD также является высотой и биссектрисой.

2. Так как BD - медиана, то AD = CD.

3. По условию AE = CF.

4. Рассмотрим треугольники BDE и BDF:

   • BD - общая сторона.
   • ∠ABD = ∠CBD (так как BD - биссектриса).

5. Чтобы доказать равенство треугольников BDE и BDF, необходимо, чтобы DE = DF. Это не следует напрямую из условия. Поэтому надо воспользоваться другим подходом.

6. Рассмотрим треугольники ADE и CDF. У нас есть AE = CF, AD = CD, но нет информации об углах. Следовательно мы не можем напрямую доказать, что ABDE = ABDF.

Из условия AE=CF и AB=BC следует, что BE=BF, поскольку BE = AB - AE, и BF = BC - CF.

Далее, углы ∠ABE и ∠CBF равны, так как △ABC равнобедренный. Таким образом, △BDE = △BDF по двум сторонам (BE=BF, BD - общая) и углу между ними (∠EBD = ∠FBD, так как BD - биссектриса).

б) △ADE = △CDF.

1. Из равенства треугольников BDE и BDF (доказано в пункте a) следует, что DE = DF.

2. Теперь рассмотрим треугольники ADE и CDF:

   • AE = CF (по условию).
   • AD = CD (так как BD - медиана).
   • DE = DF (из равенства треугольников BDE и BDF).

3. Таким образом, треугольники ADE и CDF равны по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Ответ: a) ABDE = ABDF, доказано; б) △ADE = △CDF, доказано.