4*. В прямоугольной трапеции ABCD большая боковая сторона равна 8 см, угол А равен 60°, а высота BH делит основание AD пополам. Найдите площадь трапеции.

Обозначим трапецию как ABCD, где AB - меньшее основание, CD - большее основание, AD и BC - боковые стороны, причем BC = 8 см (большая боковая сторона). Также дан угол A = 60°. Высота BH делит основание AD пополам, то есть AH = HD.

1. Рассмотрим треугольник ABH. Он прямоугольный, так как BH - высота. Угол A = 60°, следовательно, угол ABH = 90° - 60° = 30°.

2. В прямоугольном треугольнике против угла 30° лежит катет, равный половине гипотенузы. Значит, AH = BC/2 = 8/2 = 4 см.

3. Так как AH = 4 см, а BH - высота, найдем BH, используя тангенс угла A: $$tg(60°) = \frac{BH}{AH}$$. Отсюда $$BH = AH \cdot tg(60°) = 4 \cdot \sqrt{3}$$ см.

4. Так как BH делит AD пополам, то AH = HD = 4 см. Следовательно, AD = 2 * AH = 2 * 4 = 8 см.

5. Найдем меньшее основание BC. Рассмотрим прямоугольник HBCK, где K - проекция точки B на основание CD. Тогда BC = HK = 8 см. В прямоугольном треугольнике CBK известна гипотенуза CB = 8 см и угол CBK = 30 градусов(90-60). Тогда CK = BC * cos(30) = 8 * (sqrt(3)/2) = 4*sqrt(3). Тогда большее основание CD = HK + CK = 8 + 4*sqrt(3)

6. Площадь трапеции равна: $$S = \frac{BC + AD}{2} \cdot BH$$

$$S = \frac{8 + 8 + 4\sqrt{3}}{2} \cdot 4\sqrt{3} = \frac{16 + 4\sqrt{3}}{2} \cdot 4\sqrt{3} = (8 + 2\sqrt{3}) \cdot 4\sqrt{3} = 32\sqrt{3} + 24 \text{ см}^2$$

Ответ: Площадь трапеции равна $$24 + 32\sqrt{3}$$ см².