2. В прямоугольнике ABCD O – точка пересечения диагоналей, BH и DE — высоты треугольников ABO и COD соответственно, ∠BOH = 60°, AH = 5 см. Найдите OE.

В прямоугольнике ABCD диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам, значит AO = BO = CO = DO. BH и DE — высоты, проведенные к равным сторонам равнобедренных треугольников ABO и COD, следовательно, они тоже равны, BH = DE. Рассмотрим прямоугольный треугольник BOH, в котором ∠BOH = 60°, тогда ∠OBH = 90° - 60° = 30°. Так как напротив угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузы, то BO = 2 × OH. Так как AO = BO, то AO = 2 × OH. AH = AO - OH = 2 × OH - OH = OH. Так как AH = 5 см, то OH = 5 см. Следовательно, BO = 2 × OH = 2 × 5 = 10 см. OE = DE - DO. Так как DE = BH и DO = BO, то OE = BH - BO. Рассмотрим прямоугольный треугольник BOH, в котором ∠BOH = 60°, BO = 10, тогда BH = BO × sin(60°) = $$10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}$$. Следовательно, OE = BH - BO = $$5\sqrt{3} - 10$$ см.

Ответ: $$OE = 5\sqrt{3} - 10$$ см.