3. В ромбе ABCD угол B тупой. На стороне AD взята точка K, BK⊥AD. Прямые BK и AC пересекаются в точке O, AC = 2BK. Найдите угол АОВ.

Пусть сторона ромба равна а, тогда его площадь S = a×BK.

С другой стороны площадь ромба S = 1/2×AC×BD, но AC = 2×BK, тогда S = BK×BD.

Приравниваем формулы площади a×BK = BK×BD. Отсюда сторона ромба равна его диагонали, то есть а=BD, тогда треугольник ABD равносторонний, а его углы по 60 градусов.

Значит, угол А равен 60 градусам, а поскольку диагональ AC биссектриса, то угол KAO=30 градусов.

В прямоугольном треугольнике ABO, угол AKO=90 градусов, KAO=30 градусов, то угол AOK=60 градусов. Это и есть искомый угол.

Ответ: ∠АОВ = 60°.