Решение:

1. Рассмотрим треугольник BHO. Так как BH - высота, то ∠BHO = 90°. Из условия ∠BOH = 60°. Следовательно, ∠OBH = 180° - 90° - 60° = 30°.

2. В прямоугольном треугольнике против угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузы. Значит, OH = 1/2 BO.

3. Пусть OH = x, тогда BO = 2x. Из условия AH = 5 см. AO = AH + HO = 5 + x.

4. Так как в прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам, то BO = AO. Значит, 2x = 5 + x. Отсюда x = 5, то есть OH = 5 см.

5. BO = 2x = 2 × 5 = 10 см. Так как диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам, то OD = BO = 10 см.

6. Рассмотрим треугольник DOE. DO = 10 см, OE - искомая величина, DE - высота, значит ∠DEO = 90°.

7. Треугольники BHO и DOE равны по гипотенузе и острому углу (BO = OD, ∠OBH = ∠ODE как накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и CD и секущей BD). Следовательно, OE = OH = 5 см.

Ответ: OE = 5 см.