В правильной четырехугольной пирамиде боковое ребро равно 10\(\sqrt{3}\) см и пакловено и плоскости основания под углом 30. Найдите сторону основания пирамиды.

Пусть сторона основания равна a, боковое ребро равно l, а угол наклона бокового ребра к плоскости основания равен \(30^\circ\).

В правильной четырехугольной пирамиде основанием является квадрат. Диагональ квадрата равна \(d = a\sqrt{2}\). Половина диагонали квадрата, \(\frac{d}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}\), является проекцией бокового ребра на плоскость основания.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды, половиной диагонали основания и боковым ребром. Половина диагонали является прилежащим катетом к углу наклона бокового ребра к плоскости основания, который равен \(30^\circ\).

Тогда, используя косинус: \[\cos 30^\circ = \frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{l}\] \[\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2l}\] \[a = \frac{l\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{10\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{30}{\sqrt{2}} = 15\sqrt{2}\]

Но это половина диагонали. Вся диагональ: \[ d = 2 \cdot 15\sqrt{2} = 30 \sqrt{2}\]

Сторона основания равна: \[ a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{30\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 30\] см